জ্যামিতি ও পরিমিতি: প্রশ্ন ও উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ) ৯ গুণ

ঘ) ৯ গুণ। বৃত্তের ক্ষেত্রফল πr², তাই এটি ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক। ব্যাস ৩ গুণ হলে ব্যাসার্ধও ৩ গুণ হয়, নতুন ক্ষেত্রফল π(৩r)² = ৯πr²। সাধারণ নিয়ম: দৈর্ঘ্য যতগুণ হয়, ক্ষেত্রফল তার বর্গ গুণ হয়।

সঠিক উত্তর: খ) 36\pi

B) 36$\pi$. The cube's side is $\sqrt[3]{216}$ = 6 cm. The largest sphere inside touches all six faces, so its diameter equals the side and r = 3 cm. Its surface area is 4$\pi$ $r^2$ = 4$\pi$ $\times$ 9 = 36$\pi$ cm². Its volume, $\frac{4}{3}$$\pi$ $r^3$, also happens to be 36$\pi$, so either reading gives B.

সঠিক উত্তর: ক) ব্যাস

ক) ব্যাস। জ্যা হলো পরিধির যেকোনো দুই বিন্দু যোগ করা রেখাংশ। যে জ্যা কেন্দ্র দিয়ে যায় সেটিই সবচেয়ে লম্বা, তাকে ব্যাস বলে; এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। ব্যাসার্ধ জ্যা নয়, কারণ এর এক প্রান্ত কেন্দ্রে। পরিধি হলো বৃত্তের পুরো সীমারেখা।

সঠিক উত্তর: খ) 6

B) 6. Let the third, longest side be y. Then 2x + 1 + y = 13, so y = 12 − 2x. The two shorter sides must add to more than y: 2x + 1 > 12 − 2x, so x ≥ 3. For y to be the longest, 12 − 2x ≥ x + 1, so x ≤ 3. Hence x = 3 and the sides are 3, 4 and 6.

সঠিক উত্তর: ঘ) 4 < x < 14

D) 4 < x < 14. In any triangle, each side is shorter than the sum of the other two and longer than their difference. So 9 − 5 < x < 9 + 5, which is 4 < x < 14. The other options are not always true: x could be 4.5, below 5, or 13, above 9.

সঠিক উত্তর: গ) ১২

গ) ১২ বর্গ সেমি। রম্বসের কর্ণ দুটি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, ফলে রম্বসটি চারটি সমান সমকোণী ত্রিভুজে ভাগ হয়। এদের মোট ক্ষেত্রফল কর্ণ দুটির গুণফলের অর্ধেক। তাই ক্ষেত্রফল = (৪ × ৬) ÷ ২ = ২৪ ÷ ২ = ১২।

সঠিক উত্তর: খ) 4\sqrt{2} মিটার

খ) 4$\sqrt{2}$ মিটার। মই, দেয়াল ও ভূমি মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে মই অতিভুজ। ভূমির সাথে কোণ ৪৫° হলে দেয়ালের উচ্চতা = মইয়ের দৈর্ঘ্য × sin 45° = 8 × \frac{1}{$\sqrt{2}$} = 4$\sqrt{2}$। ৪৫° কোণে উচ্চতা ও মইয়ের গোড়ার দূরত্ব সমান, প্রায় ৫.৬৬ মিটার করে।

সঠিক উত্তর: গ) সমকোণী

গ) সমকোণী। বৃহত্তম বাহু ১৭, তার বর্গ ২৮৯। ছোট দুই বাহুর বর্গের যোগফল ৮² + ১৫² = ৬৪ + ২২৫ = ২৮৯, দুটো সমান। পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত অনুযায়ী ১৭ সেমি বাহুর বিপরীত কোণ তাই ৯০°। বাহু তিনটি আলাদা, তাই সমবাহু বা সমদ্বিবাহু নয়।

সঠিক উত্তর: গ) 40°, 50°

গ) 40°, 50°। ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল ১৮০°, আর সমকোণ ৯০°। তাই বাকি দুটি কোণের যোগফল হতেই হবে ৯০°। 40° + 50° = 90°, মেলে। অন্যগুলো মেলে না: 63° + 36° = 99°, 30° + 70° = 100°, আর 100° কোণ নিজেই সমকোণের চেয়ে বড়।

সঠিক উত্তর: ঘ) ১২

ঘ) ১২ মিটার। প্রস্থ x মিটার ধরলে দৈর্ঘ্য তার দেড় গুণ, অর্থাৎ $\frac{3x}{2}$। ক্ষেত্রফল $\frac{3x}{2}$ × x = 96, তাই $x^2$ = 64 এবং প্রস্থ x = 8 মিটার। দৈর্ঘ্য = ১.৫ × ৮ = ১২ মিটার। যাচাই: ১২ × ৮ = ৯৬ বর্গমিটার।

সঠিক উত্তর: ঘ) ১২০

পরিসীমা ১২০ মিটার। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বাহু², তাই বাহু = $\sqrt{900}$ = ৩০ মিটার। চারটি বাহুই সমান, তাই পরিসীমা = ৪ × ৩০ = ১২০ মিটার। ৬০ বা ৯০ পেলে বুঝবেন বাহুকে ৪ দিয়ে গুণ করার বদলে ভুল করেছেন।

সঠিক উত্তর: গ) সম্পূরককোণ

গ) সম্পূরক কোণ। দুই সমকোণ মানে ১৮০°। দুটি কোণের যোগফল ১৮০° হলে একটি অপরটির সম্পূরক; সন্নিহিত হলে এদের বাইরের বাহু দুটি একই সরলরেখায় থাকে। যোগফল ৯০°, অর্থাৎ এক সমকোণ হলে এরা পূরক কোণ হতো, তাই খ) বাদ।

সঠিক উত্তর: গ) ৫ ফুট

গ) ৫ ফুট। ডকের উচ্চতা h, নৌকা থেকে ডকের গোড়া ১২ ফুট, আর দড়ি অতিভুজ, দৈর্ঘ্য 2h + 3। পিথাগোরাস থেকে (2h + 3)² = h² + 144, অর্থাৎ 3h² + 12h − 135 = 0, বা h² + 4h − 45 = 0। উৎপাদকে (h + 9)(h − 5) = 0, তাই h = 5। যাচাই: দড়ি ১৩ ফুট, আর ৫² + ১২² = ১৩²।

সঠিক উত্তর: গ) 7.5 m

7.5 m. First find how much carpet was bought: 810 ÷ 4.50 = 180 m of carpet. Its width is 75 cm = 0.75 m, so it covers 180 × 0.75 = 135 m². The carpet covers the floor exactly, so floor area is also 135 m². Breadth = area ÷ length = 135 ÷ 18 = 7.5 m.

সঠিক উত্তর: গ) 60°

60°. Use the identity 1 + $\tan$^2$\theta$ = $\sec$^2$\theta$. Here that gives $\tan$^2$\theta$ = 4 - 1 = 3, so $\tan$$\theta$ = $\sqrt{3}$ (positive, since $\theta$ < 90°). The angle whose tangent is $\sqrt{3}$ is 60°. Check: $\tan$ 45° = 1 and $\tan$ 30° = \frac{1}{$\sqrt{3}$}, both too small.